+ Định lý quý hiếm trung gian (Intermediate value theorem) đến hàm liên tục – Định lý Bolzano-Cauchy, đạo hàm của một hàm khả vi – Định lý Darboux,

+ Định lý quý hiếm trung bình (Mean value theorem) mang lại hàm khả vi – Định lý Lagrange, Định lý Cauchy,

+ Định lý cực hiếm trung bình (Mean value theorem) mang đến tích phân.

Dưới trên đây ta lướt qua từng tác dụng này.

Ta bắt đầu từ những Định lý quý hiếm trung gian. Các Định lý này nói về tính liên thông của tập giá chỉ trị. Chẳng hạn, dạng dễ dàng và đơn giản nhất, giả dụ hàm liên tục

*
\to\mathbb R" class="latex" /> tất cả
*
trái vệt nhau thì nó bao gồm không điểm. Một cách phát biểu phức tạp, nếu như
*
\to<0, 1>" class="latex" /> là hàm liên tiếp thì nó có điểm bất động. Một bí quyết hình ảnh, bên trên một vòng thép bị nung, ở ngẫu nhiên thời điểm nào, luôn có nhị điểm đối xứng qua tâm gồm cùng nhiệt độ.

Tiếp mang lại Định lý trung gian cho đạo hàm của hàm khả vi một biến, Định lý Darboux. Rứa thể, mang đến

*
\to\mathbb R" class="latex" /> khả vi trong
*
và có đạo hàm nên
*
với đạo hàm trái
*
. Mang sử
*

Định lý Fermat cũng góp ta minh chứng các Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy – các Định lý trung bình mang lại hàm khả vi. Một phương pháp hình ảnh, để đi tự A cho B ta có thể đi vòng vèo, nhưng chắc hẳn rằng có lúc nào kia vec-tơ tốc độ tức thời thuộc phương, cùng hướng cùng với véc-tơ

*
.

Từ Định lý Cauchy ta rất có thể dẫn mang lại Quy tắc L’Hopital. Từ Định lý Lagrange ta hoàn toàn có thể dẫn đến khai triển Taylor dạng Lagrange. Ngoài ra ta cũng rất có thể dẫn mang đến Định lý trung bình cho tích phân khẳng định của hàm liên tục. Ta thường gọi đó là Định lý trung bình đồ vật nhất.

Định lý trung bình trang bị hai tương đối phức tạp. Các bạn cũng có thể tham khảo

http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem

Quay quay trở lại Định lý trung bình vật dụng nhất, từ đây ta rất có thể dẫn mang lại Định lý Pappus.

+ (Định lý Pappus) đến mặt tròn xoay gồm đường sinh

*
\to <0, \infty)" class="latex" />

có diện tích xung quanh

*
^2}dx" class="latex" />.

Áp dụng Định lý trung bình trước tiên cho:

*
với
*
^2}" class="latex" /> có điểm
*
" class="latex" /> sao cho

*
^2}dx" class="latex" />.

Chú ý rằng

*
^2}dx" class="latex" />

chính là độ dài của mặt đường sinh.

Như vậy ta bao gồm Định lý Pappus: diện tích s mặt tròn luân phiên được đến bởi

*
,

*
^2}dx" class="latex" /> là độ dài mặt đường sinh,
*
^2}dx" class="latex" /> là khoảng cách từ giữa trung tâm của đường sinh cho trục xoay.

+ (Định lý Pappus) đến vật tròn xoay cũng có đường sinh như trên hoàn toàn có thể tích

*
.

Lại áp dụng Định lý trung bình đầu tiên cho

*
*
có điểm
*
" class="latex" /> sao cho

*
.

Như vậy ta gồm Định lý Pappus: thể tích của vật tròn chuyển phiên được mang đến bởi:

*
,

*
là diện tích miền nằm trong lòng trục luân phiên và mặt đường sinh,

*
là khoảng cách giữa trục luân phiên và trung tâm miền nằm giữa trục xoay và mặt đường sinh.

Một cách tổng quát ta cũng có Định lý Pappus đến mặt giỏi vật gồm trục đối xứng. Chẳng hạn hình xuyến:

+ phương diện xuyến được tạo thành bởi việc quay một vòng tròn xung quanh một trục không trải qua vòng tròn gồm diện tích

*
,

với

*
là bán kính của vòng tròn,
*
là khoảng cách từ trọng tâm vòng tròn cho trục xoay;

+ thể tích hình xuyến được tạo ra bởi việc xoay một phương diện tròn xung quanh một trục không đi qua mặt tròn có thể tích