Toán Học Ai Cập Cổ Đại

Sự thành lập và hoạt động của chữ viết sống Ai Cập trong thời kỳ chi phí triều đại ( khoảng 3000 bce ) đã kéo theo sự xuất hiện của một lớp chuyên gia biết chữ quánh biệt,người biên chép . Nhờ kỹ năng viết lách của mình, những người dân ghi chép vẫn đảm nhận toàn bộ các nhiệm vụ của một dịch vụ dân sự: ghi chép sổ sách, kế toán thuế, quản lý các công trình công cùng (xây dựng các dự án và hầu như thứ tương tự), thậm chí còn cả bài toán truy tố chiến tranh thông qua thống kê giám sát quân nhu cùng biên chế. Mọi chàng trai trẻ đk vào những trường dạy dỗ chữ viết để học phần đông kiến ​​thức cơ bạn dạng của nghề buôn bán, không chỉ bao hàm đọc với viết hơn nữa cả phần lớn kiến ​​thức cơ bản về toán học.



Đọc thêm về chủ thể này
di truyền học: nghệ thuật toán học
Bởi vì phần nhiều di truyền dựa vào dữ liệu định lượng, các kỹ thuật toán học tập được sử dụng thoáng rộng trong di truyền học. Các định luật xác suất ...

Một giữa những văn phiên bản phổ biến hóa như một bài tập chép trong những trường học tập của vương quốc Mới (thế kỷ 13 bce ) là một trong bức thư châm biếm, trong đó một tín đồ viết thư, Hori, chế nhạo kẻ thù của anh ta, Amen-em-opet, vày sự yếu cỏi của anh ấy ta trong vai trò nỗ lực vấn và quản lý. . “Bạn là tín đồ ghi chép tuyệt vời khi mở đầu quân đội,” Hori nói đến một điểm,

một đoạn đường nối sẽ tiến hành xây dựng, dài 730 cubit, rộng 55 cubit, tất cả 120 phòng — nó cao 60 cubit, trung tâm là 30 cubit… và các tướng lĩnh với kinh sư con quay sang nói cùng với bạn, “Bạn là 1 trong người ghi chép thông minh, tên của khách hàng là nổi tiếng. Bao gồm điều gì bạn không biết? vấn đáp chúng tôi, cần từng nào viên gạch? ” cho mỗi ngăn 30 cubit bằng 7 cubit.

Vấn đề này, cùng ba sự việc khác y như nó trong và một bức thư, cần thiết được xử lý nếu không tồn tại thêm dữ liệu. Cơ mà điểm vui nhộn là rõ ràng, khi Hori thử thách đối thủ của chính mình bằng những trách nhiệm khó khăn, nhưng điển hình nổi bật này.

Những gì được nghe biết của toán học Ai Cập đều tương xứng với những bài chất vấn do tín đồ ghi chép Hori để ra. Tin tức chủ yếu đến từ hai tư liệu dài bằng giấy cói từng được dùng làm sách giáo khoa trong những trường học tập viết vội. Những Rhind giấy cói (tại kho lưu trữ bảo tàng Anh) là một phiên bản sao được thực hiện trong cụ kỷ 17 TCN của một văn bạn dạng hai vắt kỷ cũ vẫn còn. Trong các số ấy có một bảng nhiều năm gồm các phần của phân số để cung cấp phép chia, tiếp theo là lời giải của 84 bài xích toán ví dụ về số học và hình học. CácGolenishchev giấy cói (tại bảo tàng Moscow of Fine Arts), tất cả niên đại từ chũm kỷ 19 TCN , đá quý 25 sự việc của một loại tương tự. Những vụ việc này phản ánh xuất sắc các tác dụng mà tín đồ ghi chép vẫn thực hiện, chẳng hạn như họ xử lý cách cung cấp bia và bánh mỳ làm chi phí lương, và phương pháp đo diện tích những cánh đồng cũng giống như thể tích của những kim từ tháp và những chất rắn khác.

Các hệ thống chữ số vàcác phép đo lường và tính toán học

Người Ai Cập, cũng như người La Mã sau họ, biểu hiện các con số theo sơ đồ vật thập phân , sử dụng các ký hiệu hiếm hoi cho 1, 10, 100, 1.000, v.v. Mỗi cam kết hiệu xuất hiện trong biểu thức cho một số trong những nhiều lần giá trị cơ mà nó biểu thị xuất hiện nay trong chính số đó. Ví dụ,

*
viết tắt của 24. Ký hiệu khá xuề xòa này vẫn được áp dụng trong chữ viết tượng hình được search thấy trong các bia đá và những văn phiên bản trang trọng khác, nhưng trong số tài liệu giấy cói, những người dân ghi chép thực hiện một chữ viết tắt tiện lợi hơn, được call làchữ viết bậc ba , chẳng hạn, 24 được viết
*
.

Trong một hệ thống như vậy, phép cùng và phép trừ dùng để làm đếm xem tất cả bao nhiêu ký hiệu của mỗi loại trong các biểu thức số và sau đó viết lại với số ký hiệu kết quả. Những văn bạn dạng còn mãi mãi không tiết lộ những thủ tục quan trọng đặc biệt mà bạn ghi chép đã sử dụng để cung ứng việc này, nếu như có. Nhưng đối vớinhân họ reviews một phương thức nhân đôi liên tiếp. Ví dụ, nhằm nhân 28 với 11, tín đồ ta xây dựng một bảng bội số của 28 như sau:

*

Một số mục nhập vào cột thứ nhất có tổng thành 11 (tức là 8, 2 với 1) được ghi lại chọn. Sau đó, sản phẩm được search thấy bằng cách cộng các bội số khớp ứng với những mục này; vị đó, 224 + 56 + 28 = 308, sản phẩm mong muốn.

Đến chia308 mang đến 28, fan Ai Cập áp dụng ngược lại quy trình tương tự. áp dụng bảng tựa như như trong bài toán nhân, fan ta có thể thấy rằng 8 tạo ra bội số lớn số 1 của 28 bé dại hơn 308 (đối cùng với mục 16 đã là 448) cùng 8 được tiến công dấu. Sau đó, quá trình này được lặp lại, lần này mang đến phần sót lại (84) thu được bằng cách lấy số ban đầu trừ đi mục nhập nghỉ ngơi 8 (224) đến số ban đầu (308). Mặc dù nhiên, quý giá này đã nhỏ tuổi hơn mục nhập nghỉ ngơi 4, cho nên vì vậy bị vứt qua, nhưng mà nó lớn hơn mục nhập ở cả hai (56), sau đó được tấn công dấu. Quá trình này được tái diễn một lần tiếp nữa cho phần còn sót lại thu được bằng phương pháp trừ đi 56 cho chỗ dư trước đó của 84 hoặc 28, vấn đề đó cũng xảy ra đúng mực bằng cùng với mục nhập tại một và kế tiếp được đánh dấu. Các mục nhập sẽ được ghi lại sẽ được cộng lại, tạo ra thương số: 8 + 2 + 1 = 11. (Trong phần đông các ngôi trường hợp,

For larger numbers this procedure can be improved by considering multiples of one of the factors by 10, 20,…or even by higher orders of magnitude (100, 1,000,…), as necessary (in the Egyptian decimal notation, these multiples are easy to lớn work out). Thus, one can find the product of 28 by 27 by setting out the multiples of 28 by 1, 2, 4, 8, 10, & 20. Since the entries 1, 2, 4, & 20 địa chỉ up lớn 27, one has only to địa chỉ cửa hàng up the corresponding multiples to lớn find the answer.

Computations involving fractions are carried out under the restriction khổng lồ unit parts (that is, fractions that in modern notation are written with 1 as the numerator). Lớn express the result of dividing 4 by 7, for instance, which in modern notation is simply 4/7, the scribe wrote một nửa + 1/14. The procedure for finding quotients in this size merely extends the usual method for the division of integers, where one now inspects the entries for 2/3, 1/3, 1/6, etc., and 1/2, 1/4, 1/8, etc., until the corresponding multiples of the divisor sum to lớn the dividend. (The scribes included 2/3, one may observe, even though it is not a unit fraction.) In practice the procedure can sometimes become quite complicated (for example, the value for 2/29 is given in the Rhind papyrus as 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) & can be worked out in different ways (for example, the same 2/29 might be found as 1/15 + 1/435 or as 1/16 + 1/232 + 1/464, etc.). A considerable portion of the papyrus texts is devoted to lớn tables to lớn facilitate the finding of such unit-fraction values.

These elementary operations are all that one needs for solving the arithmetic problems in the papyri. For example, “to divide 6 loaves among 10 men” (Rhind papyrus, problem 3), one merely divides khổng lồ get the answer một nửa + 1/10. In one group of problems an interesting trick is used: “A quantity (aha) & its 7th together make 19—what is it?” (Rhind papyrus, problem 24). Here one first supposes the quantity lớn be 7: since 11/7 of it becomes 8, not 19, one takes 19/8 (that is, 2 + 1/4 + 1/8), and its multiple by 7 (16 + một nửa + 1/8) becomes the required answer. This type of procedure (sometimes called the method of “sai địa chỉ ”hoặc“ đưa định không đúng ”) quen thuộc trong nhiều truyền thống lịch sử số học khác (ví dụ: Trung Quốc, Ấn Độ giáo, Hồi giáo với châu Âu thời Phục hưng), mặc dù chúng hình như không có tương tác trực tiếp với người Ai Cập.

Hình học

The geometric problems in the papyri seek measurements of figures, like rectangles & triangles of given base và height, by means of suitable arithmetic operations. In a more complicated problem, a rectangle is sought whose area is 12 & whose height is 1/2 + 1/4 times its base (Golenishchev papyrus, problem 6). Khổng lồ solve the problem, the ratio is inverted và multiplied by the area, yielding 16; the square root of the result (4) is the base of the rectangle, and một nửa + 1/4 times 4, or 3, is the height. The entire process is analogous lớn the process of solving the algebraic equation for the problem (x × 3/4x = 12), though without the use of a letter for the unknown. An interesting procedure is used lớn find the area of the circle (Rhind papyrus, problem 50): 1/9 of the diameter is discarded, và the result is squared. For example, if the diameter is 9, the area is phối equal to 64. The scribe recognized that the area of a circle is proportional lớn the square of the diameter & assumed for the constant of proportionality (that is, π/4) the value 64/81. This is a rather good estimate, being about 0.6 percent too large. (It is not as close, however, as the now common estimate of 31/7, first proposed by Archimedes, which is only about 0.04 percent too large.) But there is nothing in the papyri indicating that the scribes were aware that this rule was only approximate rather than exact.

A remarkable result is the rule for the volume of the truncated pyramid (Golenishchev papyrus, problem 14). The scribe assumes the height khổng lồ be 6, the base khổng lồ be a square of side 4, & the vị trí cao nhất a square of side 2. He multiplies one-third the height times 28, finding the volume to lớn be 56; here 28 is computed from 2 × 2 + 2 × 4 + 4 × 4. Since this is correct, it can be assumed that the scribe also knew the general rule: A = (h/3)(a2 + ab + b2). How the scribes actually derived the rule is a matter for debate, but it is reasonable lớn suppose that they were aware of related rules, such as that for the volume of a pyramid: one-third the height times the area of the base.

The Egyptians employed the equivalent of similar triangles khổng lồ measure distances. For instance, the seked of a pyramid is stated as the number of palms in the horizontal corresponding lớn a rise of one cubit (seven palms). Thus, if the seked is 51/4 and the base is 140 cubits, the height becomes 931/3 cubits (Rhind papyrus, problem 57). The Greek sage Thales của Miletus (6 vậy kỷ TCN ) được cho là đã đo chiều cao của kim trường đoản cú tháp bằng bóng của họ (Xuất phát từ report Hieronymus, một môn sinh của Aristotle vào nạm kỷ sản phẩm công nghệ 4 TCN ). Mặc dù nhiên, dựa trên các đo lường và thống kê riêng biệt, report này đề nghị chỉ ra một chu đáo của điều tra khảo sát Ai Cập đã kéo dãn dài ít độc nhất 1.000 năm ngoái thời kỳ của Thales.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *